相似图形
一、线段的比
※1、如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n,或写成.
※2、四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段.
※3、注意点:
①a:b=k,说明a是b的k倍;
②由于线段a、b的长度都是正数,所以k是正数;
③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;
④除了a=b之外,a:b≠b:a,与互为倒数;
⑤比例的基本性质:若,则ad=bc;若ad=bc,则
二、黄金分割
※1、如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.
※2、黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.
四、相似多边形
¤1、一般地,形状相同的图形称为相似图形.
※2、对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.
五、相似三角形
※1、在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形.
※2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.
※3、全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1.注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
※4、相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.
※5、相似三角形周长的比等于相似比.
※6、相似三角形面积的比等于相似比的平方.
六、探索三角形相似的条件
※1、相似三角形的判定方法:
一般三角形直角三角形
基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.
①两角对应相等;
②两边对应成比例,且夹角相等;
③三边对应成比例.①一个锐角对应相等;
②两条边对应成比例:
a.两直角边对应成比例;
b.斜边和一直角边对应成比例.
※2、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
※3、平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.
八、相似的多边形的性质
※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.
九、图形的放大与缩小
※1.如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形;这个点叫做位似中心;这时的相似比又称为位似比.
※2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
◎3.位似变换:
①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心.
②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形.
③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.
第五章数据的收集与处理
一、每周干家务活的时间
※1、所要考察的对象的全体叫做总体;
把组成总体的每一个考察对象叫做个体;
从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本.
※2、为一特定目的而对所有考察对象作的全面调查叫做普查;
为一特定目的而对部分考察对象作的调查叫做抽样调查.
二、数据的收集
※1、抽样调查的特点:调查的范围小、节省时间和人力物力优点.但不如普查得到的调查结果精确,它得到的只是估计值.
而估计值是否接近实际情况还取决于样本选得是否有代表性.
第六章证明(一)
二、定义与命题
※1、一般地,能明确指出概念含义或特征的句子,称为定义.
定义必须是严密的.一般避免使用含糊不清的术语,例如"一些"、"大概"、"差不多"等不能在定义中出现.
※2、可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题.
正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.
※3、数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的',并且把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫做公理.
※4、有些命题可以从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.
¤5、根据题设、定义以及公理、定理等,经过逻辑推理,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明.
三.为什么它们平行
※1、平行判定公理:同位角相等,两直线平行.(并由此得到平行的判定定理)
※2、平行判定定理:同旁内互补,两直线平行.
※3、平行判定定理:同错角相等,两直线平行.
四、如果两条直线平行
※1.两条直线平行的性质公理:两直线平行,同位角相等;
※2.两条直线平行的性质定理:两直线平行,内错角相等;
※3.两条直线平行的性质定理:两直线平行,同旁内角互补.
五、三角形和定理的证明
※1.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°
¤2.一个三角形中至多只有一个直角
¤3.一个三角形中至多只有一个钝角
¤4.一个三角形中至少有两个锐角
六、关注三角形的外角
※1.三角形内角和定理的两个推论:
推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;
推论2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
